一. LaTeX公式#

LaTeX 公式本质是一套用纯文本字符描述数学结构的语法，把”怎么写”和”怎么排”彻底分离。你写 \frac{a}{b}，引擎负责画成分式；写 \int_0^\infty，引擎负责画出带上下限的积分号

这套语法的魔力在于跨平台通用：GitHub 的 Markdown 渲染、知乎编辑器、Notion、Typora、Obsidian、Overleaf，全部统一采用 LaTeX 语法规范——学一遍，所有平台通用.

两种公式模式#

模式	语法	用途
行内公式	$E = mc^2$	嵌在正文里，随文字流排版
独立公式	`$$E = mc^2$$`	单独成行并居中，用于重要公式

行内效果： $E = mc^2$ vs 独立效果：

E = mc^2

注意独立公式的 $$ 必须独占一行，否则部分渲染器（尤其 KaTeX）会解析失败。

Typora 中的快捷键#

插入公式块: Ctrl/Cmd + Shift + M或输入 $$ 后回车

二. 常用语法#

上下标#

渲染	源码	说明
$x^2$	`x^2`	上标
$x_i$	`x_i`	下标
$x_i^2$	`x_i^2`	同时上下标
$a_{i,j}^{(t)}$	`a_{i,j}^{(t)}`	多字符必须加花括号
$e^{x^2}$	`e^{x^2}`	嵌套上标
$\sum\limits_{i=1}^{n}$	`\sum\limits_{i=1}^{n}`	强制上下（行内也上下排）

⚠️ x^10 只渲染成 $x^10$ （只有 1 在上标），必须写 x^{10} → $x^{10}$ 。

分式与根号#

渲染	源码	说明
$\frac{a}{b}$	`\frac{a}{b}`	分式
$\dfrac{a}{b}$	`\dfrac{a}{b}`	强制 display 大小
$\tfrac{a}{b}$	`\tfrac{a}{b}`	强制行内大小
$\partial_x f$ 或 $\frac{\partial f}{\partial x}$	`\frac{\partial f}{\partial x}`	偏导
$\sqrt{x}$	`\sqrt{x}`	平方根
$\sqrt[3]{x}$	`\sqrt[3]{x}`	n 次根
$\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}$	`\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}`	连分式

括号与定界符#

渲染	源码	说明
$(\frac{1}{2})$	`(\frac{1}{2})`	固定小括号（不缩放）
$\left(\frac{1}{2}\right)$	`\left(\frac{1}{2}\right)`	自适应高度
$\left[ x \right]$	`\left[ x \right]`	方括号
$\left\{ x \right\}$	`\left\{ x \right\}`	花括号（要转义）
$\left\lvert x \right\rvert$	`\left\lvert x \right\rvert`	绝对值
$\left. \frac{dy}{dx} \right\vert_{x=0}$	`\left. \frac{dy}{dx} \right\vert_{x=0}`	单侧括号（`.` 占位）

\left 与 \right 必须成对出现，缺一个就编译报错。

求和、积分、极限#

渲染	源码	说明
$\sum_{i=1}^{n} x_i$	`\sum_{i=1}^{n} x_i`	求和
$\sum_{i \in \mathcal{S}} x_i$	`\sum_{i \in \mathcal{S}} x_i`	带条件求和
$\prod_{i=1}^{n} x_i$	`\prod_{i=1}^{n} x_i`	连乘
$\int_0^\infty f(x) \, dx$	`\int_0^\infty f(x) \, dx`	定积分
$\iint_{\mathcal{D}} f$	`\iint_{\mathcal{D}} f`	二重积分
$\lim_{n \to \infty} a_n$	`\lim_{n \to \infty} a_n`	极限
$\lim_{x \to 0^+} f(x)$	`\lim_{x \to 0^+} f(x)`	右极限

三. 速查表#

希腊字母（高频）#

渲染	源码	读音/用途	渲染	源码	读音/用途
$\alpha$	`\alpha`	alpha，学习率	$\beta$	`\beta`	beta，动量
$\gamma$	`\gamma`	gamma，折扣因子	$\delta$	`\delta`	delta，增量
$\epsilon$	`\epsilon`	epsilon，噪声/精度	$\varepsilon$	`\varepsilon`	变体写法
$\zeta$	`\zeta`	zeta	$\eta$	`\eta`	eta，学习率
$\theta$	`\theta`	theta，模型参数	$\vartheta$	`\vartheta`	变体写法
$\lambda$	`\lambda`	lambda，正则系数	$\mu$	`\mu`	mu，均值
$\nu$	`\nu`	nu	$\pi$	`\pi`	pi
$\rho$	`\rho`	rho	$\sigma$	`\sigma`	sigma，标准差/激活
$\tau$	`\tau`	tau，温度系数	$\phi$	`\phi`	phi
$\varphi$	`\varphi`	变体写法	$\psi$	`\psi`	psi
$\omega$	`\omega`	omega，权重/角频率	$\xi$	`\xi`	xi
$\Gamma$	`\Gamma`	大写	$\Delta$	`\Delta`	差分
$\Theta$	`\Theta`	参数集合	$\Lambda$	`\Lambda`	对角矩阵
$\Sigma$	`\Sigma`	协方差矩阵	$\Phi$	`\Phi`	特征映射
$\Omega$	`\Omega`	样本空间	$\Pi$	`\Pi`	连乘

运算符与关系符#

渲染	源码	含义	渲染	源码	含义
$\times$	`\times`	叉乘	$\cdot$	`\cdot`	点乘
$\div$	`\div`	除	$\pm$	`\pm`	正负
$\circ$	`\circ`	复合/逐元素	$\odot$	`\odot`	Hadamard 积
$\otimes$	`\otimes`	卷积/Kronecker 积	$\oplus$	`\oplus`	直和/拼接
$\ast$	`\ast`	卷积运算符	$\star$	`\star`	星号
$\neq$	`\neq`	不等于	$\approx$	`\approx`	约等于
$\equiv$	`\equiv`	恒等于	$\sim$	`\sim`	服从/同阶
$\leq$	`\leq`	小于等于	$\geq$	`\geq`	大于等于
$\ll$	`\ll`	远小于	$\gg$	`\gg`	远大于
$\propto$	`\propto`	正比于	$\parallel$	`\parallel`	平行/分布间
$\perp$	`\perp`	垂直/独立	$\prec$	`\prec`	优于

集合与数集#

渲染	源码	含义
$\mathbb{R}$	`\mathbb{R}`	实数集
$\mathbb{R}^{n}$	`\mathbb{R}^{n}`	n 维实向量空间
$\mathbb{R}^{m \times n}$	`\mathbb{R}^{m \times n}`	实矩阵空间
$\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}$	`\mathbb{N}`, `\mathbb{Z}`, `\mathbb{Q}`, `\mathbb{C}`	自然数/整数/有理数/复数
$\mathbb{E}[X]$	`\mathbb{E}[X]`	期望
$\mathbb{1}[\cdot]$	`\mathbb{1}[\cdot]`	指示函数
$\in$	`\in`	属于
$\notin$	`\notin`	不属于
$\subset$	`\subset`	子集
$\subseteq$	`\subseteq`	子集（含相等）
$\cup$	`\cup`	并集
$\cap$	`\cap`	交集
$\setminus$	`\setminus`	差集
$\emptyset$	`\emptyset` 或 `\varnothing`	空集
$\forall$	`\forall`	任意
$\exists$	`\exists`	存在
$\nexists$	`\nexists`	不存在
$\infty$	`\infty`	无穷
$\lvert \mathcal{D} \rvert$	`\lvert \mathcal{D} \rvert`	集合基数

线性代数符号#

渲染	源码	含义
$\mathbf{x}$	`\mathbf{x}`	向量
$\mathbf{A}$	`\mathbf{A}`	矩阵
$\mathsf{X}$	`\mathsf{X}`	张量（无衬线）
$\mathbf{A}^\top$	`\mathbf{A}^\top`	转置（推荐 `\top`）
$\mathbf{A}^{-1}$	`\mathbf{A}^{-1}`	逆矩阵
$\mathbf{A}^{+}$	`\mathbf{A}^{+}`	伪逆
$\mathbf{I}$	`\mathbf{I}`	单位矩阵
$\lVert \mathbf{x} \rVert_2$	`\lVert \mathbf{x} \rVert_2`	L2 范数
$\lVert \mathbf{x} \rVert_1$	`\lVert \mathbf{x} \rVert_1`	L1 范数
$\lVert \mathbf{x} \rVert_p$	`\lVert \mathbf{x} \rVert_p`	p 范数
$\lVert \mathbf{x} \rVert_F$	`\lVert \mathbf{x} \rVert_F`	Frobenius 范数
$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle$	`\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle`	内积
$\mathbf{x}^\top \mathbf{y}$	`\mathbf{x}^\top \mathbf{y}`	内积（列向量）
$\det(\mathbf{A})$	`\det(\mathbf{A})`	行列式
$\text{tr}(\mathbf{A})$	`\text{tr}(\mathbf{A})`	迹
$\text{rank}(\mathbf{A})$	`\text{rank}(\mathbf{A})`	秩
$\text{diag}(\mathbf{v})$	`\text{diag}(\mathbf{v})`	对角矩阵
$\text{span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)$	`\text{span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2)`	张成空间
$\mathcal{N}(\mathbf{A})$	`\mathcal{N}(\mathbf{A})`	零空间

微积分符号#

渲染	源码	含义
$\frac{dy}{dx}$	`\frac{dy}{dx}`	导数
$\frac{\partial y}{\partial x}$	`\frac{\partial y}{\partial x}`	偏导数
$\partial_x f$	`\partial_x f`	偏导简写
$\nabla f$	`\nabla f`	梯度
$\nabla_\theta J(\theta)$	`\nabla_\theta J(\theta)`	对 θ 求梯度
$\nabla^2 f$	`\nabla^2 f`	Hessian / 拉普拉斯
$\nabla \cdot \mathbf{F}$	`\nabla \cdot \mathbf{F}`	散度
$f'(x), f''(x)$	`f'(x)`, `f''(x)`	一阶/二阶导
$\int_a^b f(x) \, dx$	`\int_a^b f(x) \, dx`	定积分
$\iint_D$	`\iint_D`	二重积分
$\oint_C$	`\oint_C`	曲线积分
$\lim_{x \to 0}$	`\lim_{x \to 0}`	极限
$\sum_{i=1}^{n}$	`\sum_{i=1}^{n}`	求和
$\prod_{i=1}^{n}$	`\prod_{i=1}^{n}`	连乘
$\mathrm{d}x$	`\mathrm{d}x`	正体微分号

概率与统计符号#

渲染	源码	含义
$P(A)$	`P(A)`	概率
$P(A \mid B)$	`P(A \mid B)`	条件概率
$p(x)$	`p(x)`	概率密度
$p(x; \theta)$	`p(x; \theta)`	带参数的密度
$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$	`X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)`	服从高斯分布
$\mathbb{E}[X]$	`\mathbb{E}[X]`	期望
$\mathbb{E}_{x \sim p}[f(x)]$	`\mathbb{E}_{x \sim p}[f(x)]`	关于分布的期望
$\text{Var}(X)$	`\text{Var}(X)`	方差
$\text{Cov}(X, Y)$	`\text{Cov}(X, Y)`	协方差
$\text{KL}(p \parallel q)$	`\text{KL}(p \parallel q)`	KL 散度
$X \perp Y$	`X \perp Y`	独立
$X \perp Y \mid Z$	`X \perp Y \mid Z`	条件独立
$\mathcal{H}(X)$	`\mathcal{H}(X)`	熵
$\mathcal{I}(X; Y)$	`\mathcal{I}(X; Y)`	互信息
$\arg\max_\theta f(\theta)$	`\arg\max_\theta f(\theta)`	取最大参数
$\arg\min_\theta f(\theta)$	`\arg\min_\theta f(\theta)`	取最小参数

机器学习 / 深度学习专用符号#

渲染	源码	含义
$\theta, \Theta$	`\theta`, `\Theta`	模型参数（全集）
$\mathbf{W}, \mathbf{b}$	`\mathbf{W}`, `\mathbf{b}`	权重矩阵、偏置
$\mathbf{x}, \mathbf{y}$	`\mathbf{x}`, `\mathbf{y}`	输入、标签
$\hat{y}$	`\hat{y}`	预测值
$\mathcal{L}$	`\mathcal{L}`	损失函数
$\mathcal{D}$	`\mathcal{D}`	数据集
$\mathcal{X}, \mathcal{Y}$	`\mathcal{X}`, `\mathcal{Y}`	输入空间、输出空间
$\alpha, \eta$	`\alpha`, `\eta`	学习率
$\lambda$	`\lambda`	正则化系数
$\gamma$	`\gamma`	折扣因子 / 衰减
$\epsilon$	`\epsilon`	数值稳定项 / 噪声
$\tau$	`\tau`	温度系数
$\sigma(\cdot)$	`\sigma(\cdot)`	Sigmoid
$\mathbf{Q}, \mathbf{K}, \mathbf{V}$	`\mathbf{Q}`, `\mathbf{K}`, `\mathbf{V}`	Query/Key/Value
$d_k, d_{\text{model}}$	`d_k`, `d_{\text{model}}`	维度
$N, B, T$	`N`, `B`, `T`	样本数 / 批大小 / 序列长度
$\odot$	`\odot`	逐元素乘
$*$	`*`	卷积运算
$\oplus$	`\oplus`	残差/拼接
$\text{softmax}(\mathbf{z})$	`\text{softmax}(\mathbf{z})`	Softmax
$\text{ReLU}(\cdot)$	`\text{ReLU}(\cdot)`	激活函数

音乐

音乐