导数速查表#

表格说明：

「导数公式」和「积分公式」互为逆运算，成对背一遍顶两遍

$\int f'(x)\,dx = f(x) + C$ ，积分别忘了 $+C$

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总表#

分类	导数公式	对应积分公式	LaTeX 源码	记忆口诀
常数	$(C)' = 0$	$\int 0 \, dx = C$	`(C)' = 0`	常数不动，导数为零
幂函数	$(x^a)' = a x^{a-1}$	$\int x^a \, dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} + C \; (a \neq -1)$	`(x^a)' = a x^{a-1}`	「指数下来做系数，指数减一」
幂函数特例	$(x)' = 1$	$\int 1 \, dx = x + C$	`(x)' = 1`
指数	$(e^x)' = e^x$	$\int e^x \, dx = e^x + C$	`(e^x)' = e^x`	「唯一不变的函数」——求导后还是自己
指数	$(a^x)' = a^x \ln a$	$\int a^x \, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$	`(a^x)' = a^x \ln a`	「乘个 ln a」；积分反过来除
对数	$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$	$\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln \lvert x \rvert + C$	`(\ln x)' = \frac{1}{x}`	「倒一下」
对数	$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$	$\int \dfrac{1}{x} \, dx = \ln \lvert x \rvert + C$	`(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}`	换底公式： $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$
三角	$(\sin x)' = \cos x$	$\int \cos x \, dx = \sin x + C$	`(\sin x)' = \cos x`	「正余交替」，无负号
三角	$(\cos x)' = -\sin x$	$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$	`(\cos x)' = -\sin x`	「余字辈带负号」①
三角	$(\tan x)' = \sec^2 x$	$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$	`(\tan x)' = \sec^2 x`	「切氏导数为平方」②
三角	$(\cot x)' = -\csc^2 x$	$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$	`(\cot x)' = -\csc^2 x`	「余字辈带负号」+「平方」
三角	$(\sec x)' = \sec x \tan x$	$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$	`(\sec x)' = \sec x \tan x`	「自己 × 自己的搭档」
三角	$(\csc x)' = -\csc x \cot x$	$\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$	`(\csc x)' = -\csc x \cot x`	「余字辈带负号」+「自己 × 搭档」
反三角	$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$	`(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}`	「根号下一减 X 方」
反三角	$(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	同上（差负号，常并入 $\arcsin$ ）	`(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}`	与 $\arcsin$ 只差负号
反三角	$(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$	$\int \dfrac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$	`(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}`	「一加 X 方分之一」
反三角	$(\text{arccot}\, x)' = -\dfrac{1}{1+x^2}$	同上（差负号，常并入 $\arctan$ ）	`(\text{arccot}\, x)' = -\frac{1}{1+x^2}$`	与 $\arctan$ 只差负号
双曲（AI 常用）	$(\sinh x)' = \cosh x$	$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$	`(\sinh x)' = \cosh x`	「双曲版 $\sin$ ，但没有负号」
双曲（AI 常用）	$(\cosh x)' = \sinh x$	$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$	`(\cosh x)' = \sinh x`	「与 $\cos$ 相比：无负号」
双曲（AI 常用）	$(\tanh x)' = 1 - \tanh^2 x$	$\int \text{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C$	`(\tanh x)' = 1 - \tanh^2 x`	「 $1 - \tanh^2$ 」RNN 推导高频

① 「余字辈带负号」： $\cos, \cot, \csc, \arccos, \text{arccot}$ 导数全为负 ② 「切氏导数为平方」： $\tan \to \sec^2$ ， $\cot \to -\csc^2$

运算法则附表#

名称	公式	LaTeX 源码	记忆口诀
加减	$(u \pm v)' = u' \pm v'$	`(u \pm v)' = u' \pm v'`	「逐个求，各管各」
乘法	$(uv)' = u'v + uv'$	`(uv)' = u'v + uv'`	「轮流求导，你先我也先」
除法	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$	`\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}`	「分子：上导下不导 − 上不导下导；负号押在第二项」
链式法则	$\{g[h(x)]\}' = g'[h(x)] \cdot h'(x)$	`\{g[h(x)]\}' = g'[h(x)] \cdot h'(x)`	「外层导 × 内层导，由外向内逐层剥」
反函数	$\dfrac{dy}{dx} = 1 \Big/ \dfrac{dx}{dy}$	`\frac{dy}{dx} = 1 \Big/ \frac{dx}{dy}`	「分数倒一倒」
幂指函数	$[u^v]' = u^v\left[v'\ln u + \dfrac{vu'}{u}\right]$	`[u^v]' = u^v [v'\ln u + \frac{vu'}{u}]`	「底数指数都当变量：指数求导 × ln底数 + 底数求导 × 指数÷底数」
参数方程	$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$	`\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}`	「上下同除 dt」
隐函数	方程两边对 $x$ 求导， $y$ 视为 $y(x)$	—	「遇 $y$ 求导后补个 $y'$ 」

核心口诀汇总（单独摘出来方便背）#

口诀	覆盖范围
余字辈带负号	所有「余」系函数导数为负
切氏导数为平方	$\tan, \cot$ 导数是平方形式
正余交替无负号	$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos$ 循环
指数下来做系数，指数减一	幂函数求导
外导 × 内导	链式法则
双曲三角无负号	$\sinh, \cosh$ 求导比三角函数省心

音乐

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核心口诀汇总（单独摘出来方便背）#

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